منابع و ماخذ تحقیق b (3772)

پیوست 1: برنامهنویسی43
منابع و مراجع51
چکیده انگلیسی53
فهرست جدول ها
عنوان و شماره صفحه
جدول 1: برآورد خطای نوع اول برای k=3 جامعه نرمال مستقل برای روش های
JKL، MJKL. ……………………………………………………………………………………………………………………… 31
جدول 2: برآورد توان برای k=3 جامعه نرمال مستقل برای روش های JKL،
MJKL………………………………………………………………………………………………………………………………………32
جدول 3: برآورد خطای نوع اول برای k=4 جامعه نرمال مستقل برای روش های
GPT، JKL، JKW، WT ، New و MLRT…………………………………………………………………….33
جدول 4: برآورد خطای نوع اول برای k=7 جامعه نرمال مستقل برای روش های
GPT، JKL، JKW، WT، New و MLRT…………………………………………………………………….34
جدول 5: برآورد توان برای k=3 جامعه نرمال مستقل برای روش های New و
MLRT…………………………………………………………………………………………………………………………………….35
جدول 6: برآورد توان برای k=4 جامعه نرمال مستقل برای روش های New و
MLRT……………………………………………………………………………………………………………………………………..36
جدول 7: برآورد توان برای k=5 جامعه نرمال مستقل با حجم نمونه برابر برای
روش های New و MLRT…………………………………………………………………………………………………….37
جدول 8: برآورد توان برای k=3 جامعه نرمال مستقل براساس جدول کریشنامورتی
و میسوک لی (2014)………………………………………………………………………………………………………………..39
جدول 9: اطلاعات مربوط به تعداد صید 4 نوع ماهی در درایالت کارناتاکا هند ……………………..40
جدول 10: نتایج آزمون ها ………………………………………………………………………………………………………..40
فهرست اشکال
عنوان و شماره صفحه
شکل 1: تخمین چگالی آماره جعفری و کاظمی (2013) …………………………………………………….. 24
شکل 2: تخمین چگالی آماره جعفری و کاظمی (2013) بعد از ضرب نمون ضریب ……………….24
شکل 3: چگالی خی دو با دو درجه آزادی………………………………………………………………………………..24

فهرست نشانه های اختصاری
فصل اول: مقدمه
1- مقدمه
1-1- مقدمه و تاریخچه
بدلیل اینکه ضریب تغییرات به واحد اندازه گیری بستگی ندارد، معیاری مناسب جهت مقایسه پراکندگی چند جامعه با واحد های اندازه گیری مختلف می باشد و به همین دلیل نیز ضریب تغییرات مورد توجه آمار دانان قرا گرفته است. هدف ما در این پایان نامه ارائه آزمونی برای آزمودن برابری ضرایب تغییرات در چند جامعه نرمال براساس آزمون والد1 و روش بوت استراپ پارامتری2 می باشد. تاکنون روش های مختلفی برای آزمون برابری ضرایب تغییرات در چند جامعه نرمال ارائه شده اند؛ اما هیچ یک از روش های ارائه شده دقیق نیستند به این معنی که خطای نوع اول آنها دقیقا در سطح اسمی آزمون نمی باشد. از مهمترین روش ها می توان به این موارد اشاره کرد. بنت3 در سال 1976 آزمونی براساس روش نسبت درستنمایی ارائه کرد. همچنین گوپتا و ما4 در سال 1996، رائو و جوز5 در سال 2001 و نیری و رائو6 درسال 2003 آزمون والد را برای این مساله به کار گرفتند. تسو7 در سال 2009 از آزمون تقریبی نمره8 جهت آزمون برابری ضرایب تغییرات استفاده کرد. اخیرا نیز، لیو و همکاران9 (2010)، جعفری و کاظمی ( 2013) و کریشنامورتی و میسوک لی10 (2014) به ترتیب روش هایی بر اساس p- مقدار تعمیم یافته، بوت استراپ پارامتری و آزمون نسبت درستنمایی ارائه نمودند و خطای نوع اول و توان آزمون خود را با استفاده از شبیه سازی با روش های موجود مقایسه کردند. ما نیز در این پایان نامه، ابتدا با بهینه سازی روش جعفری و کاظمی (2013) روشی جدید بر پایه والد و بوت استراپ پارامتری جهت آزمون برابری ضرایب تغییرات در چند جامعه نرمال ارائه می دهیم و سپس با بهینه سازی آزمون والد روش جدید دیگری که عملکرد نسبتا بهتری نسبت به سایر روش ها دارد معرفی می کنیم. اما آماره آزمون ما متفاوت از جعفری و کاظمی (2013) می باشد. از آن جهت که در هر مساله آزمون فرض آماری، ارائه روشی که بتواند خطای نوع اول را به نحو مطلوبی کنترل کند اهمیت دارد نخست با استفاده از شبیه سازی، خطای نوع اول روش جدید پیشنهادی را با روش های نیری و رائو (2003)، لیو و همکاران (2010)، کاظمی و جعفری ( 2013 ) و کریشنامورتی و میسوک لی (2014) مقایسه می کنیم. نتایج شبیه سازی نشان می دهد که بر اساس خطای نوع اول، روش جدید پیشنهادی و کریشنامورتی و میسوک لی (2014) عملکرد بهتری نسبت به دیگر روش ها دارند. لذا فقط توان آزمون روش جدید پیشنهادی، با روش ارائه شده توسط کریشنامورتی و میسوک لی (2014) مقایسه می گردد. نتایج شبیه سازی نشان می دهد که در برخی موارد، توان آزمون روش جدید پیشنهادی بهتر از روش کریشنامورتی و میسوک لی (2014) می باشد. در مواردی نیز عکس این موضوع اتفاق می افتد و در برخی موارد دیگر، عملکرد این دو روش از دیدگاه توان مانند هم است. همچنین لازم به ذکر است که روش جدید پیشنهادی از لحاظ محاسباتی ساده تر از روش کریشنامورتی و میسوک لی (2014) است. ساختار پایان نامه به صورت زیر می باشد. در فصل 2، روش های مختلفی برای آزمون برابری ضرایب تغییرات در چند جامعه نرمال تاکنون ارائه شده است از جمله روش های لیو و همکاران (2010)، جعفری و کاظمی (2013)، روش جدید بهینه شده جعفری و کاظمی (2013)، کریشنامورتی و میسوک لی (2014) و آزمون والد نیری و رائو (2003) را به طور مختصر معرفی می کنیم. در فصل 3 آزمون جدیدی که براساس روش والد و استفاده از روش بوت استراپ پارامتری می باشد پیشنهاد و شرح می دهیم. در فصل 4، با استفاده از شبیه سازی به مقایسه آزمون جدید پیشنهادی با روش های دیگر از دیدگاه کنترل خطای نوع اول و توان آزمون می پردازیم. در همین فصل با ارائه یک مثال به توصیف روش های ارائه شده می پردازیم و با نتیجه گیری مبحث را به پایان خواهیم برد.
در این قسمت، نخست به معرفی نماد ها و مفاهیم اولیه مورد نیاز می پردازیم. سپس روش هایی را که اخیرا جهت آزمون برابری ضرایب تغییرات در چند جامعه نرمال ارائه شده اند معرفی می کنیم.
1-2- آشنایی با نماد ها
فرض کنید X_ij برای i=1,…k;j=1,…n_i نشان دهنده j- امین نمونه از i- امین جامعه نرمال با میانگین ?_i و واریانس ?_i^2 باشد. میانگین و واریانس جامعه i- ام به صورت زیر برآورد می شوند:
.X ?_i=1/n_i ?_(j=1)^(n_i)?X_ij و?S_i?^2=1/(n_i-1) ?_(j=1)^(n_i)??(X_ij-X ?_i ? )^2
همچنین x ?_i و ?s_i?^2 را به عنوان مقادیر مشاهده شده از X ?_i و ?S_i?^2 در نظر می گیریم. ضریب تغییرات جامعه i- ام را با ?_i=?_i /?_i نشان می دهیم. هدف ما انجام آزمون برای فرضیه های زیر است :
{?(H_0: ?_1=?_2 = … = ?_k=?@? H?_1:?_i??_j i?j یک حداقل برای)?
واضح است که فرضیه های فوق معادل با
{?(H_0: ?_1=?_2 = … = ?_k=?@ H_1:?_i??_j i?j یک حداقل برای)?
است که در آن ?_i=1/?_i می باشد.
اگر H ماتریس مقابله ها با اندازه (k-1)×k و C برداری k×1 باشد به طوری که
H=(?(?(1&-1&0)…?(0&0)@?(1 &0&-1)…?(0&0)@???@?(1&0&0@1&0&0)…?(?(-1&0)@?(0&-1))))_((k-1)×k) و C=?(?(?_1&,?,&?_k ))^’?_(k×1)
آنگاه فرضیه مورد علاقه را می توان به صورت زیر نوشت:
H_0: HC=0 مقابل در H_1:HC?0
در ادامه روش هایی را که اخیرا جهت آزمون فرض H_0 معرفی شده اند بیان می کنیم.
1-3- p- مقدار تعمیم یافته

فرض کنید Y یک متغیر تصادفی از توزیعی با پارامترهای (?,?) باشد به گونهای که ? پارامتر مورد علاقه و ? پارامتر مزاحم میباشد. (پارامتر مزاحم پارامتری است که در توزیع متغیر Y وجود دارد اما پارامتر مورد علاقه نیست.)
فرض کنید علاقهمند به آزمون ?_0:???_0 در مقابل ?_1:?>?_0 هستیم به گونهای که ?_0 مقداری مشخص و معلوم میباشد. همچنین فرض کنید y نشان دهنده مقدار مشاهده شده متغیر Y باشد. آماره تعمیم یافته ?(Y;y,?,?) که یک کمیت تصادفی است و به مقدار مشاهده شده y و پارامترها بستگی دارد را به همراه شرایط زیر در نظر بگیرید:
توزیع آماره ?(Y;y,?_0,?) به پارامتر مزاحم ? بستگی نداشته باشد.
مقدار مشاهده شده ?(Y;y,?_0,?) یعنی ?(y;y,?_0,?) به پارامتر مزاحم ? بستگی نداشته باشد.
به ازای y و ? ثابت، P[?(Y;y,?,?)?t] نسبت به ? غیر نزولی باشد. (3-2-1)
براساس شرایط فوق p- مقدار تعمیم یافته به صورت زیر تعریف میشود:
p-value=P[?(Y;y,?_0,?)?t]
به گونهای که t=?(y;y,?_0,?) است.
1-4- روش بوت استراپ پارامتری
در این روش ابتدا پارامتر مجهول مورد علاقه را با توجه به مشاهداتی که در اختیار داریم برآورد و سپس آن را جایگزین پارامتر مجهول می کنیم و نمونهای دیگر از توزیع مورد نظر که برآورد پارامتر مجهول از مشاهدات جایگزین آن شده است را تولید میکنیم. (Efron, 1993). در واقع با نمونه گیری به دفعات زیاد با روش بوت استراپ پارامتری، می توان توزیع آماره ای را که توزیع آن نامعلوم است، تخمین زد.
1-5- معرفی آماره آزمون والد

فرض کنید H_0:?=?_0 باشد. در حالت کلی اگر Y_(k×1) برداری از متغیرهای تصادفی باشد به طوری که Y~N_k (?,?) آنگاه
?(Y?-??_0)?^’ ?^(-1) (Y?-??_0)~?_k^2.
و اگر Y~^asy N_k (?,?) آنگاه
?(Y?-??_0)?^’ ?^(-1) (Y?-??_0)~^asy ?_k^2.
فصل دوم: معرفی روش های موجود برای آزمودن برابری ضرایب تغییرات در چند جامعه نرمال
2- معرفی روش های موجود
روش لیو و همکاران (2010)
روش لیو و همکاران (2010) بر اساس مفهوم کمیت های تعمیم یافته می باشد (ویرهاندی11، 1995). در این روش، کمیت های تعمیم یافته برای ?_i و ?_i به صورت زیر می باشند:
R_(?_i )=X ?_i-s_i/S_i (X ?_i-?_i )=x ?_i-1/?(n_i ) s_i T_i
و
R_(?_i )=s_i/S_i ?_i=??(n_i-1) s?_i/U_i
که در آنT_i~t_(n_i-1) و U_i^2~?_(n_i-1)^2. بنابراین کمیت تعمیم یافته برای ?_i /?_i به صورت
R_(?_i )/R_(?_i ) =(X ?_i-s_i/S_i (X ?_i-?_i ) )/(s_i/S_i ?_i )
می باشد. همچنین آماره آزمون به صورت زیر معرفی می شود:
.?d?^2=?_R^’ ?_R^(-1) ?_R و ?D?^2=(R_Hc-?_R )^’ ?_R^(-1) (R_Hc-?_R )
که در آن
R_HC=H(R_(?_1 )/R_(?_1 ) ,…,R_(?_k )/R_(?_k ) )^’,
?_R=E(R_HC?(x ?,s) )=H(E( R_(?_1 )/R_(?_1 ) ?(x ?,s) ), …, E( R_(?_k )/R_(?_k ) ?(x ?,s) ))^’,
?_R=Cov(R_HC?(x ?,s) )=Hdiag{Var( R_(?_1 )/R_(?_1 ) ?(x ?,s) ) ,…, Var( R_(?_k )/R_(?_k ) ?(x ?,s) )} H^’.
با توجه به اینکه:
E( R_(?_i )/R_(?_i ) ?(x ?,s) )=x ?_i/(?((n_i-1) ) s_i ) E(U_i )=x ?_i/(?((n_i-1) ) s_i ) ?(n/2)/?((n-1)/2) ?2,
Var( R_(?_i )/R_(?_i ) ?(x ?,s) )=(x ?_i^2)/((n_i-1) s_i^2 ) var(U_i )+1/n_i
=(x ?_i^2)/((n_i-1) s_i^2 ) [n_i-1-(?(n/2)/?((n-1)/2) ?2)^2 ]+1/n_i .
در حالت کلی diag{a_1,…,a_k } نشان دهنده ماتریس قطری k×k است که اعضای روی قطر اصلی آن a_i ها هستند.
فرض صفر در سطح ? زمانی رد می شود که
P_(H_0 ) (?D?^2??d?^2 )??.
برای جزئیات بیشتر جهت محاسبه احتمال فوق به لیو و همکاران (2010) مراجعه کنید.
2-3- روش جعفری و کاظمی (2013)
ساختار آماره این آزمون شبیه به آماره والد می باشد.اگر C ? و V^* را به صورت زیر تعریف کنیم.
C ?=?(?(X ?_1/S_1 &,…,&X ?_k/S_k ))^’?_(k×1), و V^*=diag{1/n_1 ,…,1/n_k }
آنگاه آماره آزمون به صورت زیر معرفی می شود:
Q=(HC ? )^’ [HV^* H^’ ]^(-1) (HC ? ) (1-2)
برای محاسبه ساده آماره فوق نیاز به قضیه زیر داریم.
قضیه 2-1- اگر A ماتریسی معکوس پذیر، d یک بردار و k یک مقدار ثابت باشد آنگاه
(A+kdd^’ )^(-1)=A^(-1)-(kA^(-1) dd^’ A^(-1))/(1+kd^’ A^(-1) d).
اثبات:
برای اثبات قضیه فوق کافی است در عبارت (A+kdd^’ )x=b که در آن x و b بردارهایی با بعد مناسب هستند؛ x را بیابیم. با توجه به عبارت بالا داریم:
x+kA^(-1) dd^’ x=A^(-1) b (*)
و در نتیجه
d^’ x+kd^’ A^(-1) dd^’ x=d^’ A^(-1) b
با توجه با اینکه d^’ x کمیتی یک بعدی خواهد بود؛ داریم:
d^’ x(1+kd^’ A^(-1) d)=d^’ A^(-1) b
d^’ x=(d^’ A^(-1) b)/(1+kd^’ A^(-1) d) (**)
با توجه به عبارت (*)، داریم:
x=A^(-1) b-kA^(-1) dd^’ x
و با استفاده از (**)، x برابر است با:
?x=A?^(-1) b-kA^(-1) d (d^’ A^(-1) b)/(1+kd^’ A^(-1) d)=A^(-1) b-(kA^(-1) dd^’ A^(-1) b)/(1+kd^’ A^(-1) d)
=(A^(-1)-(kA^(-1) dd^’ A^(-1))/(1+kd^’ A^(-1) d))b
که نتیجه، حاصل و اثبات تمام می گردد.
?
حال به راحتی می توان نشان داد که
HV^* H^’=1/n_1 11^’+diag{1/n_2 ,…,1/n_k },
که در آن 1^’=(1,…,1)^’ است.
و برای محاسبه آماره Q اگر قرار دهیمD=diag{1/n_2 ,…,1/n_k } باتوجه به قضیه 2-1- داریم:
Q=(HC ? )^’ [HV^* H^’ ]^(-1) (HC ? )
=(HC ? )^’ [D^(-1)-(1/n_1 D^(-1) ?11?^’ D^(-1))/(1+1/n_1 1^’ D^(-1) 1)](HC ? )
=(HC ? )^’ D^(-1) (HC ? )-B(HC ? )^’ D^(-1) ?11?^’ D^(-1) (HC ? ),
که در آن B یک مقدار ثابت و برابر است با:
B=(1/n_1 )/(1+1/n_1 1^’ D^(-1) 1).
بنابراین
Q=?_(i=1)^k??n_i ?(? ?_1-? ?_i)?^2 ?-1/(?_(i=1)^k?n_i ) [?_(i=1)^k??n_i ?(? ??_1-? ?_i)?]^2
=? ?_1^2 ?_(i=1)^k?n_i -2? ?_1 ?_(i=1)^k??n_i ? ?_i ?+?_(i=1)^k??n_i ? ?_i^2 ?-(? ?_1^2)/(?_(i=1)^k?n_i ) (?_(i=1)^k?n_i )^2+(2? ?_1)/(?_(i=1)^k?n_i ) ?_(i=1)^k?n_i ?_(i=1)^k??n_i ? ?_i ?-1/(?_(i=1)^k?n_i ) (?_(i=1)^k??n_i ? ?_i ?)^2
=?_(i=1)^k?n_i ?? ?_i?^2-1/n (?_(i=1)^k?n_i ? ?_i )^2
=?_(i=1)^k?n_i (X ?_i/S_i )^2-1/n (?_(i=1)^k?n_i (X ?_i/S_i ))^2.
در نتیجه آماره آزمون روش جعفری و کاظمی (2013) به صورت زیر خواهد بود:
Q=?_(i=1)^k?n_i (X ?_i/S_i )^2-1/n (?_(i=1)^k?n_i (X ?_i/S_i ))^2.
قضیه 2-2- آماره Q تحت فرض صفر، نسبت به پارامتر مقیاس پایاست.
اثبات:
با توجه به اینکه ?_i=?_i /?_i ، تحت فرض صفر داریم i=1,…,k ;?_i=????_i. در نتیجه تحت فرض صفرX_ij~N(??_i,?_i^2 ) برای .j=1,…,n_i ; i=1,…,k اگر قرار دهیم Z_ij=(X_ij-??_i)/?_i آنگاه X_ij=Z_ij ?_i+????_i ، X ?_i=Z ?_i ?_i+??_i و S_i^2=(?_i^2)/(n_i-1) ?_(j=1)^(n_i)?(Z_ij-Z ?_i )^2 که در آن Z ?_i~N(0, 1/(n_i )). در نتیجه نسبت X ?_i/S_i، مستقل از ?_i است.
?
فرض H_0 برای مقادیر بزرگ Q، رد می شود. برای محاسبه p- مقدار، از روش بوت استراپ پارامتری استفاده می شود.
در روش جعفری و کاظمی (2013) نیز توزیع آماره Q با روش بوت استراپ پارامتری تخمین زده می شود. به این صورت که نخست، آماره بوت استراپ به صورت زیر معرفی می گردد:
Q_B=?_(i=1)^k?n_i ((X ?_i^B)/(S_i^B ))^2-1/n (?_(i=1)^k?n_i ((X ?_i^B)/(S_i^B )))^2,
که در آن n=?_(i=1)^k?n_i ، X ?_i^B~N(? ?,1/n_i )، ?S_i^2?^B~1/(n_i-1) ?_(n_i-1)^2 و ? ? برآوردگری مناسب برای ? (مقدار مشترک ?_i ها) می باشد. برای محاسبه p- مقدار، از Q_B تحت H_0 مشاهداتی به دفعات زیاد (مثلا 10000 مرتبه) تولید می شود و نسبت دفعاتی که مقادیر تولید شده Q_B از مقدار مشاهده شده Q بیشتر باشد به عنوان برآوردی برای p- مقدار در نظر گرفته می شود. ذکر این نکته لازم است که آماره Q تحت فرص صفر نسبت به پارامتر مقیاس پایاست. پس بدون از دست دادن کلیت مسئله فرض شده است که ?_i=1; i=1,…,k. برای برآورد مقدار مشترک ?_i ها، یک برآوردگر معقول، میانگین وزنی X ?_i/S_i ها یعنی (?_(i=1)^k?n_i (X ?_i/S_i ))?n است. این برآوردگر توسط جعفری و کاظمی (2013) در حالتی که فقط اطلاعات میانگین و واریانس نمونه ای در دسترس می باشد توصیه شده است. اما همانطور که در شبیه سازی خواهیم دید؛ در صورت استفاده از این برآوردگر وضعیت خوبی در کنترل خطای نوع اول نخواهیم داشت ولی با استفاده از برآورد درستنمایی ماکزیمم ? نتایج کمی بهتر خواهد بود. اما برآورد درستنمایی ماکزیمم برای ? و ?_i ها به صورت صریح بدست نمی آیند و برای یافتن آنها باید از روشهای عددی استفاده نمود. زیرا تابع درستنمایی تحت فرض صفر به صورت زیر حاصل می گردد:
L_0=?_(i=1)^k?(1/(?2? ??_i ))^(n_i ) e^(-?_(i=1)^k??_(j=1)^(n_i)??1/(2?^2 ?_i^2 ) (X_ij-?_i )?^2 )
همچنین مشتقات تابع درستنمایی نسبت به ?_i و ? به صورت زیر می باشند:
?Ln(L_0 )/( ??_i )=-n_i/?_i +?_(j=1)^(n_i)?(X_ij (X_ij-?_i ))/(?^2 ?_i^3 )
و

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

?Ln(L_0 )/( ??)=-n_i/?+?_(j=1)^(n_i)?(X_ij-?_i )^2/(?^3 ?_i^2 ).
واضح است که با مساوی صفر قرار دادن عبارت فوق، برآورد درستنمایی ماکزیمم برای ? و ?_i ها به صورت صریح بدست نمی آیند.
نکته دیگر در مورد آماره Q اینست که به نظر می آید این آماره بر خلاف ادعای جعفری و کاظمی (2013) به صورت مجانبی تحت فرض صفر دارای توزیع کای مربع نمی باشد. با استفاده از واریانس تقریبی X ?_i/S_i می توان نشان داد با در نظر گرفتن ضریب 2/(2+?^2) برای Q، این آماره به صورت مجانبی تحت فرض صفر دارای توزیع کای دو با k-1 درجه آزادی می شود یعنی
Q_c=(2/(2+?^2 ))Q~^asy ?_((k-1))^2.
این مطلب را در قالب قضیه زیر بیان و اثبات می کنیم.
قضیه 3-1- Q_c تحت فرض صفر به صورت مجانبی دارای توزیع کای مربع با k-1 درجه آزادی است.
اثبات:
با استفاده از بسط تیلور برای توابع دو متغیره، می توان امید ریاضی و واریانس تقریبی (از مرتبه n^(-1)) X ?_i/S_i را به صورت زیر بدست آورد:
E(X ?_i/S_i )=E(? ?_i )=?_i+O(n^(-1) )
Var(X ?_i/S_i )=Var(? ?_i )=((2+??_i?^2)/(2n_i ))+O(n^(-1) ).
برای اینکه Q تحت فرض صفر به صورت مجانبی دارای توزیع کای مربع با k-1 درجه آزادی باشد باید امید ریاضی آماره Q برابر با مقدار k-1 شود. پس
E_(H_0 ) (Q)=E_(H_0 ) [?_(i=1)^k?n_i (X ?_i/S_i )^2-1/n (?_(i=1)^k?n_i (X ?_i/S_i ))^2 ]=?_(i=1)^k?n_i ?E_(H_0 ) (X ?_i/S_i )?^2-1/n E_(H_0 ) (?_(i=1)^k?n_i (X ?_i/S_i ))^2
=?_(i=1)^k?n_i [Var(X ?_i/S_i )+E_(H_0)^2 (X ?_i/S_i )]-1/n [Var(?_(i=1)^k?n_i (X ?_i/S_i ))+E_(H_0)^2 (?_(i=1)^k?n_i (X ?_i/S_i ))]
=?_(i=1)^k?n_i Var(X ?_i/S_i )+??_(i=1)^k?n_i E?_(H_0)^2 (X ?_i/S_i )-1/n ?_(i=1)^k?n_i^2 Var(X ?_i/S_i )-1/n [?_(i=1)^k?n_i ?E_H?_0 (X ?_i/S_i )]^2
=?_(i=1)^k?(2+?^2)/2+?^2 ?_(i=1)^k?n_i -(2+?^2)/2n ?_(i=1)^k?n_i -?^2/n (?_(i=1)^k?n_i )^2
=k+?^2/2 k+n?^2-(2+?^2)/2-n?^2=k+?^2/2 k-1-?^2/2
=k-1+?^2/2 (k-1)=(k-1)(1+?^2/2)=(k-1)((2+?^2)/2).
در نتیجه
E(2/(2+?^2 ) Q)=k-1.
پس
Q_c=(2/(2+?^2 ))Q~^asy ?_((k-1))^2.
?
2-4- روش بهینه شده جعفری و کاظمی (2013)
در این قسمت با بهینه سازی روش جعفری و کاظمی (2013)، روشی جدید برای آزمون برابری ضرایب تغییرات در چند جامعه نرمال ارائه می شود. به راحتی می توان دید که X ?_i/S_i و S_i به ترتیب برای ?_i و ?_i برآوردگرهای اریب هستند. لذا ما به جای این دو برآوردگر از ? ?_i=X ?_i/?d_i S?_i
و
? ?_i=s_i ?((n_i-1)/2) [(?((n_i-1)/2))/(?(n_i/2))]
استفاده می کنیم که در آن d_i=?((n_i-1)/2) [(?(n_i/2-1))/(?((n_i-1)/2))] است. ? ?_i و ? ?_i برای ?_i و ?_i برآوردگرهای ناریب با کمترین واریانس (UMVUE) هستند. در این روش بر خلاف جعفری و کاظمی (2013) به منظور دقت بیشتر واریانس دقیق ? ?_i محاسبه می شود.
Var(? ?_i )=((n_i-1)/(n_i-3))((?_i^2)/(d_i^2 )+1/(d_i^2 n_i ))-?_i^2,
و یک برآوردگر UMVU برای Var(? ?_i ) عبارت است از:
V_i=(X ?_i/S_i )^2 (1/(d_i^2 )-(n_i-1)/(n_i-3))+1/n_i .
با تعریف C ? و V به صورت
C ?=?(?(X ?_1/?d_1 S?_1 &,…,&X ?_k/?d_k S?_k ))^’?_(k×1) و V=diag{V_1,…,V_k}
می توان آماره آزمون اصلاح شده را بر اساس روش والد به صورت زیر تعریف نمود.
T=(HC ? )^’ [HVH^’ ]^(-1) (HC ? )
=?_(i=1)^k??W_i ? ?_i^2 ?-1/(?_(i=1)^k?W_i ) (?_(i=1)^k??W_i ? ?_i ?)^2,
که در آن W_i=1/V_i می باشد. نحوه محاسبه آماره T با استفاده از قضیه 2-1 و همانند روش ارائه شده در قسمت 2-3 می باشد. در نتیجه آماره بوت استراپ در روش جعفری و کاظمی (2013) به صورت زیر تغییر می یابد.
T_B=?_(i=1)^k?W_i^B ((X ?_i^B)/(?d_i S?_i^B ))^2-1/(?_(i=1)^k?W_i^B ) (?_(i=1)^k?W_i^B ((X ?_i^B)/(?d_i S?_i^B )))^2
که در آن W_i^B=1/(V_i^B ) ، V_i^B=((X ?_i^B)/(S_i^B ))^2 (1/(d_i^2 )-(n_i-1)/(n_i-3))+1/n_i ، X ?_i^B~N(? ?,1/n_i ) ، S_i^2B~1/(n_i-1) ?_(n_i-1)^2 و ? ? برآوردگری مناسب برای برآورد مقدار مشترک ضرایب تغییرات است که بر خلاف روش جعفری و کاظمی (2013) تفاوتی در استقاده از برآوردگر ماکزیمم درستنمایی یا برآوردگر وزنی ? ? ?_w=(?_(i=1)^k?W_i (X ?_i/?d_i S?_i ))/(?_(i=1)^k?W_i ) نیست و البته پرواضح است که استفاده از ? ? ?_w در عمل بسیار ساده تر خواهد بود چرا که برآورد ماکزیمم درستنمایی مقدار مشترک ضرایب تغییرات به صورت صریح بدست نمی آید و باید با روش های عددی محاسبه گردد. آماره T نیز با اثبات مشابه با قضیه 2-2، تحت فرض صفر نسبت به پارامتر مقیاس پایاست لذا فرض شده است ?_i=1; i=1,…,k. فرض صفر زمانی رد می شود که
P(T_B?t)??,
که در آن t مقدار مشاهده شده T می باشد.
در روش بهینه شده جعفری و کاظمی، بر خلاف روش جعفری و کاظمی (2013)، آماره T تحت فرض صفر به صورت مجانبی دارای توزیع خی دو با k-1 درجه آزادی است. این مطلب با استفاده از قضیه زیر قابل اثبات است.
قضیه 2-4-1 فرض کنید X_i1,…X_(in_i ) نمونه ای تصادفی از توزیع F(.) با میانگین ?_i و واریانس ?_i^2 باشد. آنگاه
?n_i ((?(X ?_i@S_i^2 ))-(?(?_i@?_i^2 ))) ?(??D ) N((?(0@0)),[?(?_i^2&?_i3@?_i3&?_i4-?_i^4 )])
که در آن X ?_i=?_(j=1)^(n_i)?X_ij ، ?S_i?^2=1/n_i ?_(j=1)^(n_i)??(X_ij-X ?_i ? )^2 و E(X_i^r )=?_ir.
اثبات:
باتوجه به قضیه حد مرکزی براحتی می توان نشان داد که
(*) ?n_i (X ?_i-?_i)?(??D ) N(0,?_i^2).
همچنین می دانیم که ?S_i?^2=(X^2 ) ?_i-X ?_i. بدلیل اینکه ?S_i?^2 به پارامتر مکان بستگی ندارد بدون از دست دادن کلیت مسئله فرض می کنیم ?_i=0. بنابراین E((X^2 ) ?_i )=?_i^2 و E(X ?_i )=0. بار دیگر با استفاده از قضیه حد مرکزی داریم:
?n_i ((?(X ?_i@(X_i^2 ) ? ))-(?(0@?_i^2 ))) ?(??D ) N((?(0@0)),?)
که در آن ?=[?(V(X_i)&Cov(X_i,X_i^2)@Cov(X_i,X_i^2)&V(X_i^2))].
تابع g: R^2 ?(?? ) R را به صورت g(?(x@y))=y-x^2 تعریف می کنیم. با استفاده از قضیه اسلاتسکی داریم:
?n_i (g(?(X ?_i@(X_i^2 ) ? ))-g(?(0@?_i^2 ))) ?(??D ) N((?(0@0)),[g^’ (?(0@?_i^2 ))]?[g^’ (?(0@?_i^2 ))]^T ),
که در آن g^’ (?(x@y))=[?(?g/?x&?g/?y)]. بنابراین
(**) ?n_i (?S_i?^2-?_i^2)?(??D ) N(0,?_i4-?_i^4)
با درنظر گرفتن عبارات (*) و (**) اثبات کامل می شود.
?
تابع h: R^2 ?(?? ) R را به صورت h(?(x@y))=x/(?y) در نظر بگیرید. با استفاده از عبارت (**) و قضیه اسلاتسکی داریم:
?(n_i ) (X ?_i/S_i -?_i/?_i )=?(n_i ) (? ?_i-?_i ) ?(??D ) N((?(0@0)),[h^’ (?(?_i@?_i^2 ))]?[h^’ (?(?_i@?_i^2 ))]^T )
بنابراین X ?_i/S_i به صورت مجانبی دارای توزیع نرمال و به تبع آن X ?_i/d_i S_i به صورت مجانبی دارای توزیع نرمال است. لذا با اندک تفاوت در جزییات داریم:
HC ?~^asy N(HC,HVH^’ ).
در نتیجه با استفاده از تعریف آماره والد ارایه شده در 1-5- آماره T تحت فرض صفر به صورت مجانبی دارای توزیع خی دو با k-1 درجه آزادی است.
ضمن اینکه شبیه سازی ها نشان می دهد که این روش عملکرد مناسبتری در کنترل خطای نوع اول نسبت به روش جعفری و کاظمی (2013) دارد (قسمت 4-1، جدول 1و2را ملاحظه کنید).
فصل سوم:روش جدید پیشنهادی
3- روش جدید پیشنهادی
3-1- روش جدید پیشنهادی
نیری و رائو12(2003) با استفاده از بسط تیلورX ?_i?S_i ، برآورد واریانس تقریبی آن را (از مرتبه n^(-1)) به صورت زیر محاسبه نمودند:
R_i=(2+(X ?_i/S_i )^2)/(2n_i ).
اگر قرار دهیم R=diag{R_1,…,R_k} آنگاه آماره آزمون بر اساس ایده والد به صورت زیر خواهد بود:
WT=(HC ? )^’ [HRH^’ ]^(-1) (HC ? )
=?_(i=1)^k?L_i (X ?_i/S_i )^2-1/(?_(i=1)^k?L_i ) (?_(i=1)^k?L_i (X ?_i/S_i ))^2. (3-1)
که در آن L_i=1/R_i . نحوه بدست آمدن آماره WT با استفاده از قضیه 2-1 و شبیه روش ارائه شده در قسمت 2-3 می باشد. نیری و رائو (2003) نشان دادند که WT تحت فرض صفر، به صورت مجانبی دارای توزیع کای دو با k-1 درجه آزادی است و فرض صفر زمانی رد می شود که WT>?_((k-1))^2 (?). این آماره از لحاظ محاسباتی راحت است ولی همچنان که خواهیم دید از دیدگاه خطای نوع اول عملکرد مطلوبی برای حجم نمونه های کم ندارد. روش جدید پیشنهادی ما استفاده از تکنیک بوت استراپ پارامتری برای آمارهWT می باشد. یعنی آماره بوت استراپ را به صورت زیر در نظر می گیریم.
WT_B=?_(i=1)^k?L_i^B ((X ?_i^B)/(S_i^B ))^2-1/(?_(i=1)^k?L_i^B ) (?_(i=1)^k?L_i^B ((X ?_i^B)/(S_i^B )))^2, (3-2)
که در آنL_i^B=1/(R_i^B )، R_i^B=((2+((X ?_i^B)/(S_i^B ) )^2 ) )?(2n_i )، X ?_i^B~N(? ?,1/n_i ) ، S_i^2B~1/(n_i-1) ?_((n_i-1))^2 و ? ? برآوردگری مناسب برای مقدار مشترک ?_i ها می باشد. این برآوردگر می تواند میانگین وزنی X ?_i/S_i ها یعنی ? ? ?_L=(?_(i=1)^k?L_i (X ?_i/S_i ))?(?_(i=1)^k?L_i ) یا برآورد ماکزیمم درستنمایی ? باشد. شبیه سازی ها نشان می دهند بر خلاف روش کاظمی و جعفری (2013)، در روش جدید پیشنهادی ما تفاوتی در استفاده از ? ? ?_L و برآوردگر ماکزیمم درستنمایی ? نیست. لذا به مانند روش کاظمی و جعفری (2013) مجبور به یافتن برآوردگر ماکزیمم درستنمایی با استفاده از روشهای عددی نیستیم. واضح است استفاده از ? ? ?_L به عنوان برآورد ?، بسیار راحت تر خواهد بود. لازم به ذکر است که آماره WT با اثباتی شبیه به قضیه 2-2 نسبت به پارامتر مقیاس پایا است. پس بدون از دست دادن کلیت مسئله فرض شده است که ?_i=1, i=1,…,k. همچنین مانند قسمت 2-4 می توان نشان داد که برخلاف آماره ارائه شده توسط جعفری و کاظمی (2013)، WT تحت فرض صفر دارای توزیع مجانبی کای دو با k-1 درجه آزادی است. بنابراین در روش پیشنهادی ما، در سطح ? فرض صفر رد می شود اگر
P_(H_0 ) (?WT?_B?wt)??, (3-3)
که در آن wt مقدار مشاهده شده ی WT است. پیشنهاد ما برای محاسبه p- مقدار استفاده از روش بوت استراپ پارامتری است. یعنی به دفعات زیاد از ?WT?_B تحت H_0 مشاهده تولید می کنیم و تعداد دفعاتی که مشاهدات تولید شده بیشتر از wt هستند به عنوان برآوردی برای p- مقدار ارائه می شود. (برای الگوریتم محاسبه P- مقدار ، فصل 4 را ملاحظه کنید).
کریشنامورتی و میسوک لی نیز در سال 2014 آزمون بهینه شده ی نسبت درستنمایی را برای این مسئله بکار گرفتند که بدلیل عملکرد نسبتا مناسب این روش، ما آن را نیز به اختصار معرفی می کنیم.
3-2- روش کریشنامورتی و میسوک لی (2014)
در این روش آماره آزمون نسبت درستنمایی بهینه سازی شده است. لگاریتم تابع درستنمایی بر اساس k جامعه نرمال تحت فرض صفر و بعد از حذف نمودن مقادیر ثابت به صورت زیر می باشد:
l(?,?)=-?_(i=1)^k??n_i ln??(?_i ?) -?_(i=1)^k?(n_i (? ?_i^2+(X ?_i-?_i )^2 ))/(2?^2 ?_i^2 ),
که در آن ? ?_i^2=(n_i-1)/n_i S_i^2 و ? مقدار مشترک ضرایب تغییرات تحت H_0 می باشد. همانطور که قبلا ذکر شد برآورد ماکزیمم درستنمایی ? و ?_i به صورت صریح قابل محاسبه نیستند و برای بدست آوردن آن ها باید از روشهای عددی استفاده نمود. در نهایت آماره آزمون نسبت درستنمایی به صورت زیر حاصل می گردد:
?=2[ln?(? ? ?_1,? ? ?_1,…,? ? ?_k,? ? ?_k )-ln??(? ?_1,? ?_1,…,? ?_1,? ?_1 )] ?
=-2[?_(i=1)^k??n_i ln??((? ?_i ? ?)/(? ?_i^2 )) ],
که در آن ? ?_i و ? ? برآوردگر های ماکزیمم درستنمایی تحت فرض صفر برای ?_i و ? و ? ? ?_i,? ? ?_i برآوردگر های ماکزیمم درستنمایی تحت فضای کلی پارامتر هستند. برای جزییات بیشتر به کریشنامورتی و میسوک لی (2014)مراجعه گردد. اگر میانگین و واریانس ? را به ترتیب با m(?) و v(?) نشان دهیم آماره بهینه شده ی روش نسبت درستنمایی به صورت زیر خواهد بود:
?_M=?(2(k-1) ) ((?-m(?))/?(v(?) ))+(k-1),
که تحت H_0 دارای توزیع تقریبی?_((k-1))^2 می باشد. اما چون بدست آوردن m(?) و v(?) مشکل می باشد با استفاده از نمونه گیری به روش بوت استراپ پارامتری می توان آنها را برآورد کرد. به این صورت که نخست از X ?_i^B~N(? ?_i,(? ?_i ? ?)/n_i ) و S_i^2B~(? ?_i ? ?)/n_i ?_((n_i-1))^2 مشاهداتی تولید و کمیت زیر محاسبه می شود
?^B=-2[?_(i=1)^k??n_i ln??((? ?_i^B ? ?^B)/(? ?_i^2B )) ],
که در آن ? ?_i^B، ? ?_i^2B و ? ?^B برآوردگر های ماکزیمم درستنمایی بر اساس مشاهدات بوت استراپ تولید شده از X ?_i^B و S_i^2B هستند. سپس میانگین و واریانس ?^B ها یعنی m(?^B) و v(?^B)، به ترتیب تقریبی برای m(?) و v(?) خواهند بود که این خود مستلزم استفاده مجدد از روش درستنمایی ماکزیمم (و روش های عددی جهت یافتن آن ها) در نمونه های بوت استراپ می باشد. در روش کریشنامورتی و میسوک لی (2014) در سطح ? فرض صفر زمانی رد می شود وقتی که
?_M>?_((k-1))^2 (?),
که در آن ?_((k-1))^2 (?) چندک _(1-?)ام از توزیع کای مربع با k-1 در جه آزادی است.
3-3- تفاوت های روش جدید پیشنهادی با دو روش اخیر
در اینجا لازم است که تفاوت های عمده روش جدید پیشنهادی ما با روش جعفری و کاظمی (2013) و کریشنامورتی و میسوک لی (2014) بیان گردد.
الف- بر خلاف ظاهر آماره آزمون جعفری و کاظمی (2013) و همچنین بر خلاف آنچه که جعفری و کاظمی (2013) در مقاله خود بیان داشته اند به نظر می آید آماره Q در عبارت (1) تحت فرض H_0 دارای توزیع خی دو با k-1 درجه آزادی نمی باشد. با استفاده از واریانس تقریبی X ?_i/S_i می توان نشان داد با در نظر گرفتن ضریب 2/2+?^2 برای Q، این آماره به صورت مجانبی تحت فرض صفر دارای توزیع خی دو با k-1 درجه آزادی می شود یعنی
Q_c=(2/(2+?^2 ))Q~^asy ?_((k-1))^2.
این در حالی است که آماره آزمون پیشنهادی ما بر اساس ساختار آماره آزمون والد تحت فرض H_0 دارای توزیع مجانبی خی دو با k-1 درجه آزادی است. این نتیجه که آماره جعفری و کاظمی (2013) دارای توزیع خی دو نیست ابتدا در شبیه سازی ها بدست آمد. در شبیه سازی مشاهده گردید که آماره جعفری و کاظمی (2013) مقادیر بسیار بزرگی بدست می دهد که سازگاری با مقادیر توزیع خی دو مثلا با 4 یا 5 درجه آزادی ندارد.

Be the first to comment

Leave a Reply